Вы здесь

Сабақ 2
                                                           Ахметова Ж.И., Аскаров А.Н. ,
                                                        «Дарын» физика-математикалық
                                          мектебінің математика пәні мұғалімдері
   Математиканың әртүрлі есептерін шығару барысында «Дирихле принципі» атты арнайы тәсіл қолданылады.
   Егер қояндардың саны торлардың санынан артық болып қояндарды торларға орналастыру керек болса,онда кем дегенде бір торда қояндардың саны 1-ден артық болатындай орналастыруға болады.   
   Есеп 1. Сыныпта 15 оқушы. Сыныптан бір айда туған күнін атап өтетін  кем дегенде 2 оқушының табылатынын дәлелдеңіз.
   Шешуі: 15 оқушы- «қояндар» болсын. «торлар»- жылдың айлары (12 ай). 15>12 болғандықтан Дирихле принципі бойынша бір торда 2 қоян отыратындай кем дегенде бір тор табылады. Яғни сыныптан бір айда  кем дегенде 2 оқушы туған күнін атап өтетіндей ай табылады.  
   Есеп 2. 12 бүтін сан берілген. Олардың ішінен айырмасы 11-ге бөлінетіндей екі санды таңдап алуға болатынын дәлелде.
   Шешуі: Бүтін сандар-«қояндар», олардың саны 12, онда торлардың саны 12-ден аз болу керек. «торлар»- бұлар бүтін сандарды 11-ге бөлгендегі қалдықтар. Барлық «торлар» саны 11 болады: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Онда Дирихле принципі бойынша бір торда 2 қоян отыратындай кем дегенде бір тор табылады. Яғни қалдықтары бірдей болатындай екі бүтін сан табылады. Ал 11-ге бөлгенде бірдей қалдық қалатын екі санның айырмасы 11-ге бөлінеді.
   Есеп 3. Өлшемдері 3x3 метр болатын кілемге Коля 8 тесік жасады. Осы кілемнен өлшемдері 1x1 метр болатын ішінде тесігі жоқ кілемше кесіп алуға болатынын дәлелдеңіз.
   Шешуі: Бұл жерде тесіктер ол-«қояндар». Кілемді өлшемдері 1x1 метр болатын 9 кілемшеге кесеміз. Кілемшелер-«торлар» саны 9. Ал тесіктер-«қояндар» саны 8. Онда «қоян» болмайтындай кем дегенде бір «тор» табылады. Яғни ішінде тесігі болмайтын кілемше табылады.
   Есеп 4. Турнирде жеңіске жеткендері үшін 8 адамнан тұратын команда 12 кәмпит алды. Балалар кәмпиттерді бүтіндей (сындырмай) бөліп алды. Келесі тұжырымдамалар дұрыс па? Анықтаңдар.
«бір бала кем дегенде екі кәмпит алды»
«бір бала кем дегенде үш кәмпит алды»
«екі бала кем дегенде екі кәмпит алды»
«әрқайсысына кем дегенде бір кәмпиттен келді».
   Жауабы: Бірінші тұжырым дұрыс, қалғаны дұрыс емес.
   Шешуі: 1) Дұрыс. Кері жоримыз. Яғни балалар кәмпиттерді бөліскенде әрбіреуі 0 немесе 1 кәмпиттен алды делік. Онда барлық бала қосындысында 8 кәмпиттен артық алмайды. Ал бұл есеп шартына қайшы. Яғни біздің жорығанымыз дұрыс емес, бұндай жағдай болу мүмкін емес. Онда  бір бала кем дегенде екі кәмпит алды.
Қалғандарының орындалмайтындығына бір мысалдан келтіре салса жеткілікті:
2) 4 адам 2 кәмпиттен алады, ал қалған 4 адам бір-бірден алады.
3) Барлық кәмпитті бір адам алады.
4) 3-ші бөлімге ұқсастықпен.
   Есеп 5. Үш әділқазылар мүшелерінен былай сұрады: «Турнирге қанша команда қатысады?» Біріншісі: « 33-тен кем команда», екіншісі: «31-ден кем команда», үшіншісі: «32-ден кем команда» -деп жауап берді.  Егер екі әділқазы мүшесінің айтқаны дұрыс болса, онда турнире неше команда қатысқан?
   Шешуі: Екінші тұжырым дұрыс болса, онда қалғандары да дұрыс екені шығады? Бірақ, екі тұжырым ғана дұрыс болғандықтан екіншісі дұрыс емес, ал бірінші мен үшіншісі дұрыс. Бір жағынан команданың саны 31-ден артық болу мүмкін емес (онда үшіншісі дұрыс болмайды), екінші жағынан 31-ден кем болу мүмкін емес(онда екіншісі дұрыс болады). Яғни жалғыз ғана мүмкін жағдай 31.  31 саны есептің шартын қанағаттандыратынын тексеру қиын емес.
   Есеп 6. Мектепішілік баскетбол жарысының ақтық кезеңінде 6А командасы 9 доп салды. Осы командадан саны жағынан бірдей доп салған екі ойыншы табылатынын дәлелдеңіз.(Командада 5 ойыншы болған)  
   Шешуі: Командадан саны жағынан бірдей доп салған екі ойыншы табылмауы мүмкін деп жориық. Онда барлық бес ойыншы саны бойынша әртүрлі доп салған. Бірінші ойыншы ешқандай доп салған жоқ дейік, екінші ойыншы бір доп салды, үшіншісі екі доп салды, төртіншісі үш доп салды, бесіншісі төрт доп салды.  Онда ойыншылар барлығы он доп салды. Егер ойыншылардың кем дегенде біреуі біз жорығандай доптан артық салса, онда команданың да барлық салған доптарының саны 9-дан асып кетеді. Яғни біздің кері жорығанымыз дұрыс емес. Яғни командадан саны жағынан бірдей доп салған екі ойыншы табылады.
    Есеп 7. Андрейдің інісі шашкилерді 8 түрлі түспен бояп шықты. Әрбір бағанда және әрбір жолда бір шашкиден болатындай Андрей 8 әртүрлі түсті шашкилерді шашки тақтасына қанша тәсілмен орналастыра алады? Әрбір бағанда және әрбір жолда бір шашкиден болатындай Андрей 8 ақ шашкиді қанша тәсілмен орналастыра алады?    
   Шешуі: Біріншіден шашкилердің түстері ақ болған жағдайды қарастырайық. Шашкилерді орналастырамыз. Бірінші бағандағы 8 торкөздің кез келгеніне шашкиді қоя аламыз, екінші бағандағы 7 торкөздің кез келгеніне қоя аламыз.(Сонымен қоса бірінші шашки тұрған жолға шашки қоюға болмайды). Сол сияқты үшінші жолдың кез келген 6 торкөзіне шашки қоюға болады, төртінші жолдың кез келген 5 торкөзіне шашки қоюға болады т.с.с. Нәтижесінде  8! Тәсіл шығады.   
   Енді шашкилер түрлі түсті болған жағдайды қарастырамыз. Ақ шашкилердің орналасуларының кез келген жағдайын алайық. Осы шашкилерді олардың кез келген екеуі әртүрлі түс болатындай 8 түрлі түске бояймыз. Бірінші біз 8 түстің бірімен бояп шығамы, екінші 7 түстің біреуімен және т.с.с. Нәтижесінде 8! тәсіл шығады. Сонымен барлық тәсіл 8!8!=8!2 болады.
  Есеп 8. Мәскеуде 10 000 000 нан астам адам тұрады. Әрбір адамның басында 300 000 нан астам шаш болуы мүмкін емес. 34 адамның басындағы шаштарының саны бірдей болуы мүмкін болатынын дәлелде.  
   Шешуі. Баста 0,1,2,...,300 000 шаш болуы мүмкін. Сонда барлығы 300 001 нұсқа. Шаштарының санына байланысты әрбір адамды 300 001топқа бөлеміз. Егер шаштарының саны бірдей болатын 34 адам табылмаса, яғни құралған топтардың кез келгеніне 33 –тен артық емес адам кіреді. Онда Москвада 33·300 001=9 900 033<10 000 000   адам тұрады. Бұл қарама-қайшылық. Яғни 34 адам табылады.
   Есеп 9. Торкөздерге бөлінген ойын тақтайшасының өлшемдері: а) 10x10;
б) 11x11. Екі адам ойнайды. Бір жүрісте кез келген бағанда немесе кез келген жолда орналасқан қатарынан тұрған боялмаған торкөздерді қанша болса сонша бояуға болады. Кім жүріс жасай алмайды, сол ұтылады. Кім дұрыс жүріп жеңіске жете алады және қалай ойнау керек?
   Нұсқау. Жеңіске жету үшін симметрияны пайдалану керек.
Сонымен осы әдісті қолдануда:
  • Есепте «торкөздер» ретінде нені, «қояндар» ретінде нені алу керектігін анықтап алған ыңғайлы.  
  • «торкөздер» санын «қояндар» санына қарағанда 1-ге артық немесе оданда  артыққа алу керек.
  • Есепті шешу үшін Дирихле принципінің талап етілген тұжырымдамасын таңдап алу қажет.
   Дирихле принципі маңызды, қызықты әрі пайдалы.  Оны күнделікті өмірде де қолдану адамның логикалық ойлау қабілетін дамытады.
Көптеген олимпиадалық есептер осы арнайы әдіс арқылы шешіледі. Бұл әдіс бізге ойымызды жалпылауға мүмкіндік береді.
Есеп 1. Сыныпта барлығы 30 оқушы бар. Даурен диктанттан 13 қате жіберді, ал қалғандары одан аз қате жіберді. Кем дегенде саны жағынан бірдей қате жіберген 3оқушы табылатынын дәлелдеңдер. (бірде- бір қате жібермеген үш оқушы да болуы мүмкін).
Есеп 2. Сыныпта 30емес, 41 оқушы болсын. Ал қалғаны алдыңғы есеп шартындағыдай. Кем дегенде саны жағынан бірдей қате жіберген 4 оқушы табылатынын дәлелдеңдер.
Есеп 3. Мектепте 400 оқушы бар. Олардың ішінде кем дегенде екі оқушы бір күнде туғанын дәлелде.
Есеп 4. Кез келген алты адамның арасынан қос-қостан таныс 3 адам немесе қос-қостан таныс емес 3 адам табылатынын дәлелдеңдер.
Есеп 5. 10 дос бір-бірлеріне мерекелік кәртішкелер (открытка) жолдады. Әрбіреуі 5 кәртішкеден жолдады. Кез- келген екі адам бір-біріне кәртішке жолдағанын дәлелдеңдер.
Есеп 6. Сынақ тапсыруға 65 оқушы келді. Оларға 3 бақылау жұмысын ұсынды. Әр бақылау жұмысына  «2», «3», «4» немесе «5» бағаларының біреуі қойылды. Барлық бақылау жұмысында бірдей бағалар алған екі оқушы табылатындығы рас па?
Есеп 7. 5адамнан тұратын кез-келген компанияда екі адамның таныстарының саны бірдей болатынын дәлелдеңдер.
Есеп 8. 10 оқушы олимпиадада  35 есеп шығарды. Олардың ішінде 1 есепті шығарған, 2 есепті шығарған, 3 есепті шығарған оқушылар бар екені белгілі. Оқушылардың ішінде 5 есептен кем емес есеп шығарған оқушы табылатындығын дәлелде.
Есеп 9. 11 санның ішінде айырмасы 10-ға бөлінетін екі сан әрқашанда табылатындығын дәлелде.
Есеп 10. Сыныпта 25 оқушы. Олардың ішінде кез-келген үш оқушының екі досы бар екені белгілі. Сыныпта достарының саны 12 –ден кем емес оқушы бар болатындығын дәлелде.
 
Занятие 2
                                                             Ахметова Ж., Аскаров А.Н.,                                                              учителя математики 
                                                            областной  физико-  
                                                     математической школы «Дарын»  
   При решении различных математических задач применяется специальный метод, получивший названия принцип Дирихле.
   Если кролики рассажены в клетки, причем число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.
   Если m кроликов рассажены n клеток, то хотя бы в одной клетке находится не менее кроликов, а также хотя бы в одной клетке находится не более кроликов.
   Задача 1. В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся как минимум 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.
   Решение: Пусть 15 учеников будут «зайцы». Тогда «клетками» будут месяцы года, их 12. Так как 15>12, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна клетка, в которой будеть сидеть, по крайней мере, 2 «зайца». То есть, найдется месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса.
   Задача 2. Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится на 11.
   Решение: Причем числа за «зайцев». Так как их 12, то «клеток» должно быть меньше. Пусть «клетки» -это остатки от деление целого числа на 11. Всего «клеток» будет 11: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Тогда, по принципу Дирихле, найдется «клетка», в которой будут сидеть не менее чем 2 «зайца», то есть найдутся 2 целых числа с одним остатком. А разность двух чисел с одинаковым остатком от деления на 11, будет делиться на 11.
   Задача 3. В ковре размером 3x3 метра Коля проделал 8 дырок.
Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1x1 метр, не содержащий внутри себя дырок.
   Решение: Здесь дырки будут «зайцами». Разрежем ковер на 9 ковриков размерами 1x1 метр. Так как ковриков-«клеток»-9, а дырок-«зайцев»-8, то найдется хотя бы одна «клетка», в которой не будет «зайцев», то есть найдется коврик без дырок внутри.
   Задача 4. За победу в турнире Архимеда команда из 8 человек получила 12 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения:
«кому-то досталось по крайней мере  2 конфеты»;
«кому-то досталось по крайней мере  3 конфеты»;
«двум людям досталось по крайней мере  2 конфеты»;
«каждому досталось хотя бы одна конфета».
   Ответ. Первое утверждение верно, все остальные – нет.
   Решение: 1) Да, верно. Предположим противное, т.е. что существует ситуация, когда дети поделили конфеты так, что каждый получил 0 или 1 конфету. Тогда все дети в сумме получили не более 8 конфет, что противоречит условию. Значит наше предположение неверно, и такая ситуация существовать не может. Т.о. всегда найдется тот, кто получил, по крайней мере, 2 конфеты.
Для всех остальных пунктов можно построить пример, когда дети поделили 12 конфет так, что указанные утверждения не выполняются:
2) 4 человека получили по 2конфеты, а остальные 4 по одной.
3) Все конфеты забрал один человек.
4) Аналогично пункту 3.
   Задача 5. У трех членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в турнире Архимеда?» Один сказал: «Меньше тридцати трех». Другой: «Меньше тридцати одной», а третий: «Меньше тридцати двух». Сколько команд участвовало в турнире Архимеда, если правы оказались в точности двое членов жюри?
   Решение: Заметим, что из верности второго утверждения вытекает верность остальных. А так как верными оказались ровно два утверждения, то второе утверждение неверно, а первое и третье верны. Т.о. количество команд, с одной стороны, не может быть больше 31 (т.к.иначе неверно третье утверждение), а с другой стороны, не может быть меньше 31 (т.к.иначе верно второе утверждение). Значит, единственно возможное количествокоманд-31. Легко проверить, что31 удовлетворяет условию задачи.
   Задача 6. На финальном матче школьного первенства по баскетболу команда 6А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. ( В команде было 5 игроков)
   Решение: Предположим, что возможен случай, когда такие два игрока не найдутся. Тогда все пять игроков забили разное количество мячей. Пусть первый игрок ничего не забил, второй игрок забил один мяч, третий игрок забил два мяча, четвертый- три, пятый- четыре. Тогда всего игроки забили десять мячей. Если же кто-то из игроков забил больше мячей, чем мы предположили, то и всего игроки забили больше мячей. Поскольку по условию игроки забили всего девять мячей, наше предположение неверно. Значит, существуют два игрока команды, забившие поровну мячей.
   Задача 7. Маленький брат Андрея раскрасил шашки в восемь цветов. Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 разноцветных шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке? Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке?
   Решение: Рассмотрим сначала случай, когда шашки белые. Будем расставлять шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку в любую из 8 клеток, Во втором столбце - в любую из 7 клеток.(Т.к.нельзя ставить в ту же строку, в которой стоит первая шашка.) Аналогично в третьей строке мы можем поставить шашку в любую из 6 клеток, в четвертой строке- в любую из пяти и т.д. Итого получаем 8! способов.
   Теперь рассмотрим случай цветных шашек. Возьмем произвольную расстановку белых шашек. Будем раскрашивать эти шашки в 8 цветов, так чтобы любые две из них были покрашены в разные цвета. Первую мы можем покрасить в один из 8 цветов, вторую – в один из 7 оставшихся и.т.д. Т.е. всего 8! способов раскраски. Поскольку способов расстановки тоже 8! , и каждую из этих расстановок мы можем раскрасить 8! способами, то всего способов в этом случае 8!8!=8!2.
  Задача 8. В Москве проживает более 10 000 000 людей. На голове у каждого человека не может быть более 300 000 волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове.
   Решение. На голове может быть 0,1,2,...,300 000 волос- всего 300 001 вариант. Каждого москвича отнесем к одной из 300 001 групп в зависимости от количества волос. Если 34 москвича с одинаковым количеством волос не найдутся, то это значит, что в любую из созданных групп входит не более 33 человек. Тогда всего в Москве живет не более 33·300 001=9 900 033<10 000 000 человек, что противоречит условию. Значит, такие 34 москвича обязательно найдутся.
   Задача 9. Имеется клетчатая доска размером а) 10x10; б) 11x11. Играют двое. За один ход разрешено в любом столбце или в любой строке закрасить сколько угодно стоящих подряд незакрашенных клеток. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
   Указание. К победе приводит симметричная стратегия.
   Таким образом, применяя данный метод, надо:
  • Определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев».
  • Получить «клетки», чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну (или более).
  • Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.
   Принцип Дирихле важен, интересен, полезен. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление.
Многие олимпиадные задачи решаются, используя это специальный метод. Он дает возможность обобщать.
Задача 1: В классе 30 человек. Саша Иванов сделал в диктанте 13 ошибок, остальные - меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (может быть по 0 ошибок).
Задача 2: Пусть в классе 41 человек, а не 30, а все остальные условия- как в предыдущей задаче. Докажите, что найдутся четверо ребят, сделавших одинаковое число ошибок.
Задача 3: В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день.
 Задача 4: Докажите, что среди любых шести человек всегда найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
Задача5: Десять друзей послали друг другу праздничные открытки. Каждый послал 5 открыток. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.
Задача 6: На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольных работы. За каждую контрольную работу ставилась одна из оценок: «2», «3», «4» или «5». Верно ли, что найдутся 2 школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?
Задача 7: Докажите, что в любой компании из 5 человек двое имеют одинаковое число знакомых.
Задача 8: 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть решившие  1 задачу, решившие 2 задачи и решившие 3 задачи. Доказать, что среди них есть школьник, решивший не менее 5 задач.
Задача 9: Доказать, что среди 11 чисел всегда можно найти два таких числа, разность которых кратна 10.
Задача 10: В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого в классе не менее 12 друзей.

"Дирихле принциптеріне" есептер шығару